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By Claudio Canuto, Anita Tabacco

Il testo intende essere di supporto advert un secondo insegnamento di Analisi Matematica secondo i principi dei nuovi Ordinamenti Didattici. E' in particolare pensato according to quei corsi di studio (quali advert esempio Ingegneria, Informatica, Fisica) in cui lo strumento matematico è¨ parte significativa della formazione. I concetti e i metodi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale di più variabili, le serie di funzioni e le equazioni differenziali ordinarie sono presentati con l'obiettivo primario di addestrare lo studente advert un loro uso operativo, ma critico. L'impostazione didattica del testo ricalca quella usata consistent with l'ANALISI I. los angeles modalit� di presentazione degli argomenti permette un uso flessibile e modulare del testo, in modo da rispondere alle diversified possibili scelte didattiche nell'organizzazione di un corso di Analisi Matematica. Il libro presenta tre diversi livelli di lettura. Un livello "essenziale" permette allo studente di cogliere i concetti indispensabili della materia e di familiarizzare con le relative tecniche di calcolo. Un livello intermedio fornisce le giustificazioni dei principali risultati e arricchisce l'esposizione mediante utili osservazioni e complementi. Un terzo livello di lettura, basato su numerosi riferimenti advert un testo virtuale disponibile in rete, permette all'allievo più motivato ed interessato di approfondire los angeles sua preparazione sulla materia. Numerosi esempi corredano e illustrano le definizioni e le propriet� di volta in volta enunciate. Viene fornito un cospicuo numero di esercizi, tutti con l. a. relativa soluzione. consistent with oltre los angeles met� di essi si delinea in modo completo il procedimento risolutivo.

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14) sostituendo −x a x, risulta, per ogni x ∈ (−1, 1), ∞ k=0 (−1)k k+1 x = k+1 ∞ k=1 (−1)k−1 k x = log(1 + x) . 14) sostituendo −x2 a x, ancora integrando termine a termine, deduciamo che, per ogni x ∈ (−1, 1), si ha ∞ k=0 (−1)k 2k+1 x = arctan x .

Per dimostrarlo, consideriamo la funzione f (x) = x2 , +1 x3 e studiamone la monotonia. Poich´e f (x) = x(2 − x3 ) (x3 + 1)2 e siamo interessati soltanto √ ai valori di x positivi, otteniamo che f (x) √ < 0 se 2 − x3 < 0, ossia se x > 3 2. Dunque, f `e decrescente nell’intervallo ( 3 2, +∞). Ci`o significa che f (k + 1) < f (k), e perci`o, bk+1 < bk , per k ≥ 2. 20, la serie converge. 13. Approssimazioni di serie: a) n = 5. k b) Si tratta di una serie a segni alterni con bk = 2k! Si ha immediatamente lim bk = 0; inoltre risulta bk+1 < bk per ogni k > 1 in quanto k→∞ bk+1 = 2k 2k+1 < = bk (k + 1)!

N+1 lim ak = lim k→∞ k→∞ Poich´e lim sn = sin 1, la serie converge e la sua somma vale sin 1. n→∞ e) Si ha ∞ k=0 3k + 2k = 6k ∞ k=0 3 6 ∞ k + k=0 2 6 k = Pertanto la serie converge e la somma vale 7/2. f) Non converge. 1 1− 1 2 + 1 1− 1 3 = 7 . 2 27 28 1 Serie numeriche 5. 3 + 3 + 5 + 7 + . . 3 + = 1+ 1 1 + 4 + ... 3 + 3 = 1 2k 10 10 1 − 102 10 1000 99 k=0 17 1147 23 + = . 10 990 495 6. Studio della convergenza di serie e calcolo della loro somma: a) Converge per |x| < 5 e la somma vale s = x2 5(5−x) .

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